Matemática discreta Ejemplos

$9 x^{4} + 98 x^{2} - 11$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$9 u^{2} + 98 u - 11 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 11 = - 99$ y cuya suma es $b = 98$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $98$ de $98 u$ .

$9 u^{2} + 98 (u) - 11 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $98$ como $- 1$ más $99$

$9 u^{2} + (- 1 + 99) u - 11 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 u^{2} - 1 u + 99 u - 11 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 u^{2} - 1 u) + 99 u - 11 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (9 u - 1) + 11 (9 u - 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u + 11) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u + 11 = 0$

Paso 4

Establece $9 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $9 u - 1$ igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $9 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 u = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $9 u = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $9 u = 1$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Paso 5

Establece $u + 11$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $u + 11$ igual a $0$ .

$u + 11 = 0$

Paso 5.2

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 11$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 u - 1) (u + 11) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{9}, - 11$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Paso 9.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 9.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 9.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 11$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 11}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 11}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (11)}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$

Paso 11.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{11}$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{11}$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{11}$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Paso 12

La solución a $9 x^{4} + 98 x^{2} - 11 = 0$ es $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Paso 13